Algebra

Tema:

DERIVADA DE FUNCIONES

 Contenidos:

• Definición
•  Derivada de las funiones a trozos
• Gráficas

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

Ejemplos 

Determinar la función derivada de f(x) = x² − x + 1.

 

 

Calcular f'(−1), f'(0) y f'(1)

f'(−1) = 2(−1) − 1 = −3

f'(0) = 2(0) − 1 = −1

f'(1) = 2(1) − 1 = 1

Derivada de las funciones a trozos

En las funciones definidas a trozos es necesario estudiar las derivadas laterales en los puntos de separación de los distintos trozos.

Estudiar la derivabilidad de la función f(x) = |x|.

Puesto que las derivadas laterales en x = 0 son distintas, la función no es derivable en dicho punto.

Las derivadas laterales no coinciden en los picos ni en los puntos angulosos de las funciones. Por tanto en esos puntos no existe la derivada.

 

No es derivable en x = 0.

Hallar el punto en que y = |x + 2| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda.

f'(−2)⁻ = −1f'(−2)⁺ = 1

No será derivable en: x= -2.

En x = -2 hay un pico, por lo que no es derivable en x= -2.

Hallar los puntos en que y = |x ² − 5x + 6| no tiene derivada. Justificar el resultado representando su gráfica.

La función es continua en toda.

f'(2)^- = −1f'(2)⁺ = 1

f'(3)^- = −1f'(3)⁺ = 1

Como no coinciden las derivadas laterales la función no será derivable en: x=2 y x=3.

Podemos observar que en x = 2 y en x = 3 tenemos dos puntos angulosos, por lo que la función no será derivable en ellos.